Me, either. と Me, neither.
どっちだったかな?って思う人も多いと思います。 どちらも相手の否定的な発言に対して、「僕/私も違うよ」。と言いたいんですね。 結論からいうとこの場合は…。
Me, neither. が正解です。 "n"either の"n" は not の "n" です。
否定的表現にnot は欠かせないんですね。
◇ところが、次のような完全文では後ろはeither が正しくなります。
I don't ( do not) like it, either. なぜでしょう? この場合は既に文中に not がありますから、either にあらためて not を表す"n" をつけなくてもよいといわけです。